ランダムな数の発生方法-04

３．正規分布

次に，正規分布をしているを考えていきましょう．

\(\Large P(x) \propto e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} \)

規格化条件は，

\(\Large 1 = \int_{- \infty}^\infty P(x) dx = \int_{- \infty}^\infty A e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} dx \)

となります．積分範囲が-∞から∞になることに注意してください．積分公式，

\(\Large \int_{- \infty}^\infty e^{- a \ x^2} dx = \sqrt{ \mathstrut \frac{\pi}{a}} \)

より，

\(\Large \begin{eqnarray} 1 &=& \int_{- \infty}^\infty A e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} \\
&=& A \sqrt{ \mathstrut \frac{\pi}{\frac{1}{ 2 \ \sigma^2}}} \\
&=& A \sqrt{ \mathstrut 2 \ \pi \ \sigma^2} \\
\end{eqnarray}　\)　

\(\Large A = \sqrt{ \mathstrut 2 \ \pi \ \sigma^2} \)

\(\Large P(x)= \frac{1}{\sqrt{ \mathstrut 2 \ \pi \ \sigma^2}} e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} \)

となります．

累積密度関数は，

\(\Large \int_{-\infty}^x P(m) dm = \frac{1}{\sqrt{ \mathstrut 2 \ \pi \ \sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}}　\)　

となります．積分範囲が-∞からxになることに注意してください．

なので，

\(\Large Rand_{0-1} = \frac{1}{ \sqrt{ \mathstrut 2 \ \pi \ \sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}}　\)　

となります．

ランダム関数からｘを求めるには，上記の式の逆関数，誤差関数を使えばいいことになります．